Pengertian Limit, Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, Limit Tak Hingga, dan Asimtot

Download Materi Kalkulus disini

Download

Materi: Pengertian Limit, Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, Limit Tak Hingga, dan Asimtot

Diskusikan beberapa materi diskusi dengan kelompokmu!

A. Pengertian Limit

Limit adalah salah satu konsep yang paling dasar dari kalkulus. Secara mendasar pertanyaan dalam mempelajari konsep limit adalah : apa yang terjadi pada fungsi ketika  semakin mendekati suatu kostanta ?

Pemahaman Secara Intuisi

Diskusi 1. Diberikan fungsi :

Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan  karena di titik ini   berbentuk    yang hasilnya tak terhingga. Namun kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada  ketika  mendekati  (tidak sama dengan 2, hanya mendekati)? Kita dapat menghitung beberapa nilai  untuk  mendekati 2, diperlihatkan pada tabel berikut.

	....	1,7	1,8	1,99	1,999	→2,000←	2,001	2,01	2,1	2,2	....
	....	3,7	3,8	3,99	3,999	...?...	4,001	4,01	4,1	4,2	....

Dari tabel tersebut, kita simpulkan bahwa  mendekati 4 ketika  mendekati 2. Dalam simbol matematis, kita tuliskan

 Ini dibaca ”limit ketika  mendekati 2,    mendekati 4”.

Selain langkah di atas, kita juga dapat memfaktorkan pembilang,

Perhatikan bahwa  selama , karena apabila  mendekati 2 (tidak sama dengan 2) maka nilai  hanya akan mendekati nol. Jadi kita tidak melakukan pembagian .

Definisi 1 (Definisi Limit). Untuk mengatakan bahwa  berarti bahwa ketika  dekat tetapi berlainan dari  maka  dekat ke .

Diskusi 2. Berikan fungsi   , tentukan  !

Penyelesaian. Perhatikan tabel berikut

	-0,1	-0,01	-0,001	-0,0001	→0←	0,0001	0,001	0,01	0,1
	-10	-100	-1000	-10.000	...?...	10.000	1000	100	10

 ( artinya  mendekati nol dari kanan, ) ............. limit kanan

 ( artinya  mendekati nol dari kiri, ) ...............limit kiri

Karena limit kanan dan limit kiri pada contoh di atas berbeda, itu berarti   tidak ada. Dan grafik batas yang ditampilkan pada Gambar  berikut.

                                   

           

B. Limit Sepihak (Limit Kiri dan Limit Kanan)

Definisi 2 (Limit Kiri dan Limit Kanan). Untuk mengatakan bahwa  berarti bahwa ketika  dekat tetapi pada sebelah kanan , maka    dekat ke . Demikian pula, untuk mengatakan bahwa berarti bahwa ketika  dekat tetapi pada sebelah kiri  maka  adalah dekat ke .

Teorema 1 (Teorema Dasar Limit).  jika dan hanya jika  dan 

Teorema 2 (Teorema Limit Utama). Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta  dan  adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka:

1.       ;

2.      

3.       ;

4.       ;

5.       ;

6.       ;

7.        = , asalkan ;

8.        =  ;

9.        = , asalkan  ketika n genap.

Penerapan Teorema Limit Utama

Diskusi 3. Carilah  !

C. Limit di Tak Hingga

Perhatikan Grafik berikut !

    

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi  akan mendekati nol apabila nilai  menuju tak hingga  atau minus tak hingga, dinotasikan : .

Diskusi  4. Tentukan limit fungsi        

D. Limit Tak Hingga

Limit tak hingga adalaah  konsep limit yang melibtakan lambang  dan - , yaitu apabila nilai fungsi  membesar atau mengecil tanpa batas atau apabila peubah  membesar atau mengecil tanpa batas.

Diskusi 5. Diberikan fungsi  

Maka dari fungsi tersebut akan diperoleh gambar grafik seperti berikut :

Ketika  mendekati 1 dari kiri tampak fungsi mengecil tanpa batas. Serta ketika  mendekati 1 dari kanan, tampak fungsi membesar tanpa batas. Sehingaa nilai dari  , dapat dituliskan seperti dibawah ini :

         

  maka disimpulkan bahwa  tidak ada

Diskusi 6. Carilah limit :  dan    

E. Hubungan Limit Dengan Asimtot

Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga. Asimtot juga bisa diartikan dengan sebuah garis lurus yang sangat dekat dengan kurva lengkung di titik jauh tak terhingga. Asimtot dapat di bagi menjadi 3 bagian yaitu :

a.    asimtot datar adalah garis tersebut sejajar dengan sumbu .

b.    asimtot tegak adalah garis tersebut sejajar dengan sumbu .

c.     asimtot miring adalah garis tersebut tidak sejajar dengan sumbu  dan dengan sumbu .

Yang disebut asimtot itu bukan grafiknya. Tetapi garis lurus yang tidak pernah tersentuh oleh garik kurva. Itulah yang disebut asimtot. Jika garis itu mendatar, maka disebut asimtot datar. Jika garis tersebut tegak, maka disebut asimtot tegak. Jika garis itu miring, maka disebut asimtot miring. Fungsi yang memiliki asimtot adalah fungsi rasional.

Asimtok tegak, asimtot datar, dan asimtot miring

1.       Garis  disebut asimtot tegak (vertikal) fungsi , bila berlaku salah satu diantara ekspresi berikut :

a.               b.

2.       Garis  disebut asimtot datar (horizontal) fungsi , bila berlaku salah satu diantara ekspresi berikut :

a.                 b.

3.       Garis  disebut asimtot miring fungsi, bila berlaku :

a.  atau        b.

Diskusi 7:

Tentukan asimtot dari fungsi berikut :

a.                            b.                  

F. Latihan Soal-Soal

Diskusikanlah soal-soal berikut bersama temanmu!

1.	Sketsa grafik dari Kemudian tentukan  masing-masing nilai limit berikut, atau nyatakan limitnya tidak ada. a)                           b)        c)                           d)
2.	Misalkan Tentukan nilai (jika mungkin) dari : a)                                     b)
3.	Carilah limit yang ditunjukkan atau nyatakan bahwa limitnya tidak ada. a)            b)                    c)
4.	Tentukan nilai limit berikut !
	a)                                  c)                              e) b)                                     d)                                  f)
5.	Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi berikut, serta gambar grafiknya !
	a)                                           b)                                   c)
6.	Tentukan asimtot miring dari :
	a)                   b)

Posted by Unknown

Tweet